文曲在古 第210章 三角换元之探

第210章三角换元法之探

又一日，学堂之内，戴浩文再开新篇。

戴浩文缓声道：“今日为师要与尔等讲授另一奇妙之法，名曰三角换元法。”

众学子皆屏气凝神，静待下文。

李华拱手问道：“先生，此三角换元法又是何意？”

戴浩文微笑答道：“且看，若有方程x2 y2=1，吾等可设x=cosθ，y=sinθ，此即为三角换元。”

张明面露疑惑：“先生，为何如此设之？”

戴浩文耐心解释道：“诸君可知三角函数之特性？cos2θ sin2θ=1，恰与吾等所给方程相符。如此设之，可使求解之路径明晰。”

王强问道：“那若方程为x2 4y2=4，又当如何？”

戴浩文道：“此时，可设x=2cosθ，y=sinθ。如此，原方程便化为4cos2θ 4sin2θ=4，正合题意。”

赵婷轻声道：“先生，此设颇有巧妙之处。”

戴浩文点头道：“然也。再看若有式子√(1-x2)，吾等设x=sinθ，则此式可化为√(1-sin2θ)=cosθ。”

李华思索片刻道：“先生，此换元法于解题有何妙处？”

戴浩文笑曰：“其妙处众多。若求函数之最值，或化简复杂之式，皆能大显身手。譬如，求函数x √(1-x2)之值域。”

众学子纷纷低头思索。

戴浩文见状，提示道：“已设x=sinθ，代入可得sinθ cosθ。诸君可还记得两角和之公式？”

张明恍然道：“先生，吾记得，sinθ cosθ=√2sin(θ π/4)。”

戴浩文赞道：“善！由此可知其值域为[-√2,√2]。”

王强又问：“先生，若式中含分式，又当如何？”

戴浩文道：“莫急，若有式子(1-x2)/(1 x2)，设x=tanθ，则可化简求解。”

赵婷道：“先生，此中计算恐有繁难之处。”

戴浩文道：“不错，然只要步步为营，细心推之，必能解出。”

说罢，戴浩文在黑板上详细演示计算过程。

......

如此讲学许久，学子们对三角换元法初窥门径。

戴浩文又道：“今留数题，尔等课后细细思索。若有不明，来日再论。”

学子们领命而去，皆欲深研此奇妙之法。

数日之后，众学子再次齐聚学堂。

戴浩文扫视众人，缓声问道：“前几日所授三角换元法，尔等可有研习？”

学子们纷纷点头，李华率先说道：“先生，学生课后反复思索，略有心得，然仍有诸多不明之处。”

戴浩文微笑道：“但说无妨。”

李华拱手道：“若方程为9x2 16y2=144，该如何进行三角换元？”

戴浩文答道：“可设x=4cosθ，y=3sinθ。如此一来，原方程化为16cos2θ 9sin2θ=144，与原式契合。”

王强接着问道：“先生，那对于形如√(x2-2x 1)这样的式子，又当如何三角换元？”

戴浩文耐心解释道：“先将其化为√((x-1)2)=|x-1|，再设x-1=t，若要三角换元，可令t=sinθ。”

赵婷疑惑道：“先生，为何有时设x=cosθ，有时又设x=sinθ呢？”

戴浩文道：“此需视具体问题而定。若方程或式子之形式与cosθ或sinθ之特性相关，便按需设之。”

张明道：“先生，三角换元法在求定积分时可有应用？”

戴浩文点头道：“自然有。譬如求∫(0到1)√(1-x2)dx，设x=sinθ，则可将其化为三角函数之积分，求解更为简便。”

说罢，戴浩文在黑板上详细推演计算过程。

“诸位且看，如此换元之后，积分上下限亦需相应变换。”

学子们目不转睛，仔细聆听。

王强道：“先生，那若遇复杂之复合函数，可否用三角换元？”

戴浩文笑曰：“只要能寻得恰当之替换关系，未尝不可。就如函数f(x)=√(2-x-x2)，先将其内部配方，再进行三角换元。”

戴浩文边讲边写，学子们不时点头，似有所悟。

李华又问：“先生，三角换元法与均值换元法可有相通之处？”

戴浩文沉思片刻，道：“二者皆为换元之法，旨在简化问题。均值换元常以均值为桥梁，而三角换元则借助三角函数之特性。然具体运用，需依题而定。”

......

戴浩文滔滔不绝，讲解不停，学子们或问或思，气氛热烈。

不知不觉，日已西斜。

戴浩文轻咳一声，道：“今日所讲，尔等回去需多加温习。数学之道，在于勤思多练，方能融会贯通。”

学子们躬身行礼：“谨遵先生教诲。”

众人散去，然对三角换元法之探索，方兴未艾。

又过数日，课堂之上。

戴浩文道：“今来考查一番尔等对三角换元法之掌握。”

遂出一题：求函数y=x √(2-x2)的最大值。

学子们纷纷提笔计算。

片刻后，赵婷起身道：“先生，学生设x=√2cosθ，解得最大值为√2。”

戴浩文微微颔首：“不错。那再看此题，若x、y满足x2 y2-2x 4y=0，求x-2y的最大值。”

众学子再度陷入沉思。

张明道：“先生，可否设x-2y=z，将其转化为直线与圆的位置关系，再用三角换元求解？”

戴浩文抚掌大笑：“妙哉！果能举一反三。”

就这样，在戴浩文的悉心教导下，学子们在三角换元法的海洋中不断探索，学问日益精进。

......

时光荏苒，学子们在数学的世界里越走越远，而三角换元法也成为他们攻克难题的有力武器。